Deconvolution for the Wasserstein Metric and Geometric Inference

Recently, [4] have dened a distance function to measures to answer geometric inference problems in a probabilistic setting. According to their result, the topological properties of a shape can be recovered by using the distance to a known measure ν, if ν is close enough to a measure µ concentrated on this shape. Here, close enough means that the Wasserstein distance W 2 between µ and ν is suciently small. Given a point cloud, a natural candidate for ν is the empirical measure µ n. Nevertheless, in many situations the data points are not located on the geometric shape but in the neighborhood of it, and µ n can be too far from µ. In a deconvolution framework, we consider a slight modication of the classical kernel deconvolution estimator, and we give a consistency result and rates of convergence for this estimator. Some simulated experiments illustrate the deconvolution method and its application to geometric inference on various shapes and with various noise distributions. Résumé : La notion de fonction distance à une mesure récemment introduite dans [4] permet de répondre à des problèmes d'inférence géométrique dans un cadre probabiliste : les propriétés topologiques d'un compact K ⊂ R d peuvent être estimées à l'aide de la fonction distance à une mesure de probabilité connue ν si celle-ci se trouve susamment proche (au sens de la distance de Wasserstein W 2) d'une mesure µ dont K est le support. En pratique lorsque les observations sont corrompues par du bruit, la mesure empirique associée aux observations n'est généralement pas assez proche de µ pour pouvoir être utilisée directement. Dans cet article, on propose une solution à ce problème en considérant un modèle de convolution pour lequel la loi du bruit est supposée connue. On considère une variante de l'estimateur par noyau de déconvolution classique dont on établit la consistence et des vitesses de convergence. On illustre la méthode proposée et ses applications en inférence géométrique sur diérentes formes géométriques et diérentes distributions de bruit sur les observations.